有十个袋子,每个袋子里有十颗金子,其中九个袋子里的金子是10g一个,一个袋子里的金子是9g一个（等于重量不一样）,问：用什么方法只称一次就能知道哪个袋子里的金子是9g的?
问题重述
我们有十个袋子，每个袋子里有十颗金子。其中九个袋子里的金子每颗重10克，另一个袋子里的金子每颗重9克。现在，我们需要通过只称一次的方法，找出哪个袋子里的金子是9克的。
初步思考
我们需要明确几个关键信息：
1. 袋子数量：10个。
2. 每个袋子中的金子数量：10颗。
3. 金子的重量：
九个袋子：每颗金子10克。
一个袋子：每颗金子9克。
4. 限制条件：只能称一次。
目标是利用这唯一的一次称重机会，确定出哪个袋子里的金子是9克的。
解决思路
因为只能称一次，我们需要设计一种方法，通过这一次称重就能获取足够的信息来区分出哪个袋子有问题。常见的方法是给每个袋子分配一个独特的“标识”，然后根据称重结果与预期值的差异来确定哪个袋子有问题。
具体来说，可以采取以下步骤：
1. 编号袋子：将十个袋子分别编号为1到10。
2. 取样策略：从第n号袋子中取出n颗金子（即第1号袋子取1颗，第2号袋子取2颗，……，第10号袋子取10颗）。
3. 称重：将所有取出的金子一起放在天平上称重，记录总重量。
4. 计算预期重量：如果所有金子都是10克，那么取出的金子总数是1+2+...+10=55颗，预期总重量为55 × 10 = 550克。
5. 比较实际重量：实际称得的重量会少于550克，因为有一个袋子里的金子是9克的。缺少的重量就是（550
实际重量）克。
6. 确定问题袋子：缺少的重量对应于从问题袋子中取出的金子数量。例如，如果缺少了x克，那么就是从第x号袋子中取出的x颗金子每颗少了1克，因此第x号袋子就是那个装有9克金子的袋子。
详细步骤
让我们更详细地展开这个过程：
1. 袋子编号：
袋子1、袋子2、...、袋子10。
2. 取样：
从袋子1中取1颗金子，
从袋子2中取2颗金子，
...
从袋子10中取10颗金子。
总共取出的金子数量：1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55颗。
3. 预期重量：
如果所有金子都是10克，那么55颗金子的总重量为：55 × 10 = 550克。
4. 实际重量：
由于有一个袋子里的金子是9克（即每颗比标准少1克），假设是第k号袋子，那么从第k号袋子中取出了k颗金子，每颗少1克，总共少k克。
实际重量 = 550
k 克。
5. 计算差异：
称重后得到实际重量W。
计算差异：550
W = k。
这个k就是问题袋子的编号。
例子验证
为了验证这个方法的正确性，我们可以举一个具体的例子：
假设第4号袋子里的金子是9克的。
取样：
袋子1：1颗（10g）
袋子2：2颗（10g）
袋子3：3颗（10g）
袋子4：4颗（9g）
袋子5：5颗（10g）
袋子6：6颗（10g）
袋子7：7颗（10g）
袋子8：8颗（10g）
袋子9：9颗（10g）
袋子10：10颗（10g）
预期重量（全10g）：55 × 10 = 550克。
实际重量：
袋子4的4颗金子每颗少1克，共少4克。
实际重量 = 550
4 = 546克。
计算差异：550
546 = 4。
第4号袋子是问题袋子。
这与我们的假设一致，验证了方法的正确性。
为什么这种方法有效
这种方法之所以有效，是因为：
1. 唯一性：每个袋子取出的金子数量与其编号相同，这样每个袋子对总重量的影响是独特的。如果第k号袋子有问题，那么总重量就会比预期少k克。
2. 一次称重：通过一次称重，我们获取了所有袋子贡献的总信息，通过数学计算可以反推出具体是哪个袋子的问题。
3. 避免混淆：因为每个袋子取出的金子数量不同，任何重量的差异都直接对应到一个特定的袋子，不会与其他袋子混淆。
其他可能的思路
还有其他一些可能的方法，但可能不如上述方法简洁或高效。例如：
1. 逐袋称重：但题目限制只能称一次，所以不可行。
2. 分组称重：将袋子分成几组，多次称重，但同样不符合“一次称重”的要求。
3. 标记法：尝试给金子做标记，但实际操作中难以实现且不必要。
相比之下，上述的“编号取样法”是最直接和高效的解决方案。
通过给每个袋子分配一个独特的编号，并根据编号从相应袋子中取出对应数量的金子，然后通过一次称重计算总重量的差异，可以准确地找出哪个袋子里的金子是9克的。具体步骤如下：
1. 将十个袋子编号为1至10。
2. 从第n号袋子中取出n颗金子（n从1到10）。
3. 将所有取出的金子（共55颗）一起称重，得到重量W。
4. 计算预期重量（全10g）：55 × 10 = 550克。
5. 计算差异：550
W = k。
6. 第k号袋子即为装有9克金子的袋子。
最终答案
方法如下：
1. 将十个袋子分别编号为1到10。
2. 从第1号袋子中取1颗金子，第2号袋子中取2颗金子，……，第10号袋子中取10颗金子（总共取出55颗金子）。
3. 将这55颗金子一起放在天平上称重，记录总重量为W克。
4. 计算如果所有金子都是10克时的预期总重量：55 × 10 = 550克。
5. 计算实际重量与预期重量的差值：550
W = k。
6. 差值k即为装有9克金子的袋子的编号。例如，如果差值是3，那么第3号袋子里的金子是9克的。
通过这种方法，只需一次称重即可准确找出哪个袋子里的金子是9克的。