在几何学中，平面是构成三维空间的基本元素之一。两个平面相交，会形成一条直线，这条直线被称为两个平面的交线。本文将详细阐述如何证明两个平面相交，并证明两平面相交的公共点都在公共直线上。
平面相交的基本概念
1. 平面的定义
平面是一个无限延伸的、具有二维空间的几何图形。在平面几何中，平面通常用字母表示，如平面α、平面β等。
2. 平面相交的定义
当两个平面在空间中相遇时，它们会形成一条直线，这条直线称为两个平面的交线。
证明两个平面相交
1. 利用公理证明
在欧几里得几何中，有如下公理：
公理1：通过任意两点，有且只有一条直线。
公理2：任意直线上的两点可以确定一个平面。
公理3：通过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
根据公理1和公理2，我们可以证明两个平面相交。
证明过程如下：
（1）假设有两个平面α和β，它们在空间中有两个不同的公共点A和B。
（2）根据公理1，通过点A和B，有且只有一条直线AB。
（3）根据公理2，直线AB确定一个平面，设为γ。
（4）由于点A和B都在平面α和β上，所以平面α和β都与平面γ相交。
（5）根据公理3，通过不在同一直线上的三点（如A、B、C），有且只有一个平面。平面α和β与平面γ相交于直线AB。
2. 利用反证法证明
假设两个平面α和β不相交，即它们是平行的。根据平行平面的性质，平面α和β上的任意两点连线与另一个平面都平行。这与公理3相矛盾，因为公理3指出，通过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。假设不成立，两个平面α和β必须相交。
证明两平面相交的公共点都在公共直线上
1. 利用公理证明
根据公理1，任意两点确定一条直线。由于两个平面相交于一条直线，所以这两个平面上的任意两个公共点都确定这条直线。
证明过程如下：
（1）假设有两个平面α和β，它们相交于直线AB。
（2）设点C和D分别是平面α和β上的两个公共点。
（3）根据公理1，通过点A和C，有且只有一条直线AC；通过点B和D，有且只有一条直线BD。
（4）由于AC和BD都是直线AB上的线段，所以点C和D都在直线AB上。
2. 利用反证法证明
假设存在一个公共点E，它在直线AB上，但不在平面α或β上。根据公理3，通过不在同一直线上的三点（如A、B、E），有且只有一个平面。这与假设矛盾，因为点E既在平面α上，又在平面β上。假设不成立，所有公共点都必须在直线AB上。
本文通过公理和反证法，证明了两个平面相交，并证明了所有公共点都在公共直线上。这一在解决实际问题中具有重要意义，如计算两个平面之间的距离、确定物体的位置等。