6月29号，运势如同一场数学之旅，今天我们要探讨的是xy2在x2+y2=4的定义域内的二重积分。这是一个充满挑战的问题，让我们一起揭开神秘的面纱。
开头描述：
在这个充满阳光的6月29号，运势似乎与数学紧密相连。今天，我们将探索一个充满挑战的数学问题：xy2在x2+y2=4的定义域内的二重积分。让我们一起踏上这场奇妙的数学之旅吧！
定义域的确定
我们需要明确积分的定义域。题目中给出的条件是x2+y2=4，这是一个标准的圆方程，表示一个半径为2的圆。我们的定义域就是这个圆内部的所有点。
坐标系的选择
在计算二重积分时，坐标系的选择非常重要。考虑到圆的对称性，我们选择极坐标系来简化计算。在极坐标系中，x=rcosθ，y=rsinθ，其中r是极径，θ是极角。
极坐标下的积分表达式
将x和y的表达式代入xy2，得到积分表达式为：
∫∫xy2dxdy = ∫∫(rcosθ)(rsinθ)2rdrdθ
积分限的确定
由于我们是在圆内部进行积分，极径r的范围是从0到圆的半径2，极角θ的范围是从0到2π。
积分的计算
现在，我们可以开始计算积分了。首先计算内层积分：
∫r2cosθsin2θdr
这是一个关于r的积分，我们可以使用常规的积分 *** 来计算：
∫r2cosθsin2θdr = [r3cosθsin2θ] + ∫3r2cos2θsin2θdr
这里，我们使用了积分技巧：乘以dθ再除以dθ。
积分的简化
接下来，我们继续简化积分表达式。由于cos2θ+sin2θ=1，我们可以将积分表达式中的cos2θsin2θ替换为(1/4)sin2(2θ)：
∫3r2cos2θsin2θdr = (3/4)∫r2sin2(2θ)dr
再次使用积分技巧，得到：
(3/4)∫r2sin2(2θ)dr = (3/8)∫(r?sin2(2θ) + r?cos2(2θ))dr
由于sin2(2θ) + cos2(2θ) = 1，我们可以将积分简化为：
(3/8)∫r?dr
计算内层积分的结果
计算内层积分的结果：
(3/8)∫r?dr = (3/8)[r?/5] = (3/40)r?
计算外层积分的结果
现在，我们需要计算外层积分：
∫(3/40)r?dθ
由于r是常数，我们可以将其提到积分符号外：
(3/40)∫r?dθ = (3/40)r?θ
代入积分限
将积分限代入，我们得到：
(3/40)r?θ | 从0到2π
= (3/40)(2)?(2π)
= (3/40)(32)(2π)
= (3/40)(64π)
= (3/5)(4π)
= (12/5)π
通过以上计算，我们得到了xy2在x2+y2=4的定义域内的二重积分的结果为(12/5)π。这是一个充满挑战的数学问题，但通过正确的坐标系选择和积分技巧，我们成功地解决了它。在这个阳光明媚的6月29号，让我们为这次数学之旅画上一个圆满的句号吧！